# Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Comunitat: | Comunitat Valenciana
Convocatòria: | Setembre de 2000
Modalitat: | LOGSE - Ciències de la Natura i de la Salut - Tecnologia
Exercici: | 2n Exercici
Assignatura: | Matemàtiques II
Obligatorietat: | Obligatòria en l'opció Científico-Tècnica i opcional en altres. Obligatòria també en l'Opció Científico - Tècnica i de Ciències de la Salut.
Durada: | 90 minuts
Barem: | S'elegirà l'exercici A o l'exercici B, del qual només fareu tres dels quatre proposats. Cada problema es puntuarà de 0 a 3,3. La suma de les puntuacions més 0,1 serà la qualificació d'aquesta prova. Cada estudiant haurà de disposar d'una calculadora científica o gràfica per a l'examen, i se'n prohibeix la utilització indeguda (per a guardar fórmules a la memòria)

## Exercici A

### Problema 1

Calcular el valor de λ pel que té infinites solucions el sistema: { x + y - z = 0 ; 2x + y + z = 0 ; λx + y = 0 }

Obtindre totes les solucions corresponents a ese valor de λ i interpretar geomètricament perquè el sistema té infinites solucions.

### Problema 2

Es llançen cinc monedes simètriques a l'aire. Calcular:

- La probabilitat de no obtindre ninguna cara.
- La probabilitat d'obtindre una cara.
- La probabilitat d'obtindre més d'una cara.

### Problema 3

Considera les rectes r: { x = y = z } y r': { y = 5 ; z = 0 } Comprova que els punts O= (0 , 0 , 0) i A = (1 , 1 , 1) pertanyen a la recta r, i que els punts B = (0 , 5 , 0) i C = (10 , 5 , 0) pertanyen a la recta r'. Calcula la distància entre les dues rectes.

Explica la relació entre el producte mixte dels vectors OA = i + j + k = (1 , 1 , 1), BC i OB, el producte vectorial de OA i BC i la distància entre les rectes r i r'.

### Problema 4

Es divideix un fil de 100 metres en dos troços de longituts x i y. Amb el troç de longitut x es forma un quadrat i amb el de longitud y es forma un rectangle, el costat major del qual medix el doble que el costat menor. Troba x i y per a que la suma de les àrees del quadrat i del rectangle siga màxima. Ídem per que siga mínima.

## Exercici B

### Problema 1

Obtindre la distància del punt (0 , 0 , 7) al pla determinat pels punts (0 , 0 , 0), (0 , 2 , 2) i (2 , 0 , 2).

### Problema 2

Obtindre en funció de λ les solucions del sistema { -x + y + z = 3 + λ ; x - 3y = -2 ; -x + 3z = 2 }

Explica la relació entre el conjunt de solucions obtingudes i la intersecció dels plans π2: x - 3y = -2 y π3: -x + 3z = 2

### Problema 3

L'estatura d'una població es distribuiex normalment amb una mitjana d'1,70 i desviació típica 0,1. Es seleccionen a l'atzar quatre persones i es demana quina es la probabilitat de que una , i tan sols una d'elles, medisca més d ' 1,72 cm. Determinar també quina és la probabilitat de que al menys dos de les quatre persones seleccionades medisquen més d'1,72 cm.

### Problema 4

Al girar l'elipse x2 / a2 + y2 / 9 = 1 entorn a l'eix OX engendra una superfície que tanca una figura pareguda a un ou, anomenat el·lipsoide. Troba el volum de l'el·lipsoide.

Si el punt (a , 0) es desplaça cap a la dreta de manera que a = 5 + 3t, obtindre la funció derivada del volum del l'el·lipsoide respecte a t, explicant el seu significat.

Última modificació d'aquesta pàgina: 3 de juny de 2003