# Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Comunitat: | Comunitat Valenciana
Convocatòria: | Juny de 2000
Modalitat: | LOGSE - Ciències de la Natura i de la Salut - Tecnología
Exercici: | 2n Exercici
Assignatura: | Matemàtiques II
Obligatorietat: | Obligatòria en l'opció Científico-Tècnica i opcional en altres. Obligatòria també en l'Opció Científico-Tècnica i de Ciències de la Salut.
Durada: | 90 minuts
Barem: | L'alumne elegirà l'exercici A o l'exercici B, del qual només farà tres dels quatre proposats. Cada problema es puntuarà de 0 a 3,3. La qualificació final será la seua suma més 0,1. Cada estudiant haurà de disposar d'una calculadora científica o gràfica per a l'examen, i se'n prohibeix la utilització indeguda (per a guardar fórmules en la memòria)

## Exercici A

### Problema 1

Donada la matriu A = [[0 , 1 , 2] , [0 , 0 , 3] , [0 , 0 , 0]], calculeu les matrius A2, A3, A4 i A5. Obteniu raonadament la matriu An per a n > 5.

### Problema 2

El punt P(x,y) recorre la corba y = x2. Utilitzant raonadament el càlcul de derivades, calculeu la posició del punt P per a la qual la seua distància al punt (0, -4) és mínima.

### Problema 3

Considerem un paral·lelepípede de bases ABCD i EFGH, sent A = (1 , 1 , 1), B = (2 , 1 , 1), C = (2 , 4 , 1) i E = (1 , 2 , 7). Calculeu l'àrea d'una de les bases, el volum del paral·lelepípede i la distància entre les bases.

### Problema 4

Considereu les dades relatives al tant per cent d'interés x aplicat en certes entitats financeres i el tant per cent d'atur y en certs anys.

Com és usual, cada columna correspon a les dades d'un any.

x | 18 | 16 | 14 | 12 | 10 | 8 | 6 | 4
y | 25 | 25 | 21 | 20 | 19 | 16 | 14 | 13

Expliqueu com s'obtindria la proporció d'atur esperat si el tant per cent d'interés aplicat per les entitats financieres fóra del 2%. Calculeu aquesta proporció d'atur esperada.

Calculeu quin es el percentatge d'augment o de disminució de l'atur si el tant per cent de l'interés augmentara en un 1%, i expliqueu que s'ha utilitzat per a fer càlcul.

## Exercici B

### Problema 1

Calculeu la distància des del punt (0 , 0 , 10) al plànol que passa pels punts (0 , 0 , 1), (4 , 2 , 7) i (4 , 0 , 3).

### Problema 2

Esbrineu per a quins valors de λ té una única solució el sistema {x + y + z = 1 ; x + 2y + 3z = 3 ; 3x + 4y + λz = λ} i obteniu raonadament per a quins valors de λ el sistema té infinites solucions.

Doneu el significat geomètric del fet que el sistema tinga infinites solucions, i recordeu que cada una de les equacions del sistema representa un plànol.

### Problema 3

El pes d'una població segueix una distribució normal de mitjana 70 quilos i de desviació típica de 5 quilos.

Determineu raonadament quina és la probabilitat que un individu elegit a l'atzar pese més de 75 quilos.

Calculeu la probabilitat que un individu elegit a l'atzar pese més de 80 quilos.

Si s'elegeix a l'atzar un individu entre els que pesen més de 75 quilos, quina és la probabilitat que pese més de 80 quilos?

### Problema 4

La gràfica de la corba y = x·cos x, quan 0 ≤ x ≤ π/2, i l'eix OX limiten una superfície. Determineu l'àrea d'aquesta superfície.

Última modificació d'aquesta pàgina: 3 de juny de 2003