# Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Comunidad: | Comunidad Valenciana
Convocatoria: | Septiembre de 2000
Modalidad: | LOGSE - Ciencias de la Naturaleza y de la Salud - Tecnología
Ejercicio: | 2º Ejercicio
Asignatura: | Matemáticas II
Obligatoriedad: | Obligatoria en la Opción Científico-Técnica y opcional en otras. Obligatoria también en la Opción Científico-Técnica y de Ciencias de la Salud.
Duración: | 90 minutos
Baremo: | Se elegirá el ejercicio A o el ejercicio B, del que sólo harán tres de los cuatro problemas propuestos. Cada problema se puntuará de 0 a 0,33. Cada estudiante deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para el examen, y se prohibe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria)

## Ejercicio A

### Problema 1

Calcular el valor de λ para el que tiene infinitas soluciones el sistema: { x + y - z = 0 ; 2x + y + z = 0 ; λx + y = 0 }

Obtener todas las soluciones correspondientes a ese valor de λ e interpretar geométricamente por qué el sistema tiene infinitas soluciones.

### Problema 2

Se lanzan cinco monedas simétricas al aire. Calcular:

- La probabilidad de no obtener ninguna cara.
- La probabilidad de obtener una cara.
- La probabilidad de obtener más de una cara.

### Problema 3

Considera las rectas r: { x = y = z } y r': { y = 5 ; z = 0 } Comprueba que los puntos O= (0 , 0 , 0) y A = (1 , 1 , 1) pertenecen a la recta r, y que los puntos B = (0 , 5 , 0) y C = (10 , 5 , 0) pertenecen a la recta r'. Obtén la distancia entre esas dos rectas.

Explica la relación entre el producto mixto de los vectores OA = i + j + k = (1 , 1 , 1) , BC y OB, el producto vectorial de OA y BC y la distancia entre las rectas r y r'.

### Problema 4

Se divide un hilo de 100 metros en dos trozos de longitudes x e y. Con el trozo de longitud x se forma un cuadrado y con el de longitud y se forma un rectángulo cuyo lado mayor mide el doble que el lado menor. Hallar x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea máxima. Ídem para que sea mínima.

## Ejercicio B

### Problema 1

Obtener la distancia del punto (0 , 0 , 7) al plano determinado por los puntos (0 , 0 , 0), (0 , 2 , 2) y (2 , 0 , 2).

### Problema 2

Obtener en función de λ las soluciones del sistema { -x + y + z = 3 + λ ; x - 3y = -2 ; -x + 3z = 2 }

Explica la relación entre el conjunto de soluciones obtenidas y la intersección de los planos π2: x - 3y = -2 y π3: -x + 3z = 2

### Problema 3

La estatura de una población se distribuye normalmente con media 1,70 y desviación típica 0,1. Se seleccionan al azar cuatro personas y se pide cual es la probabilidad de que una , y sólo una, de ellas mida más de 1,72 cm. Determinar también cuál es la probabilidad de que al menos dos de las cuatro personas seleccionadas midan más de 1,72 cm.

### Problema 4

Al girar la elipse x2 / a2 + y2 / 9 = 1 alrededor del eje OX engendra una superficie que encierra una figura parecida a un huevo, llamada elipsoide. Hallar el volumen de este elipsoide.

Si el punto (a , 0) se desplaza hacia la derecha de manera que a = 5 + 3t, obtener la función derivada del volumen del elipsoide respecto a t, explicando su significado.

Última modificación de esta página: 3 de junio de 2003