# En busca de Pi

Basado parcialmente en el artículo "The Quest for Pi" de Bailey, Borwein, Borwein y Plouffe, publicado en Mathematical Intelligencer, vol 19 nº 1 (1997).

## Pi

La letra griega pi (π) representa la proporción constante que existe entre el perímetro y el diámetro de un círculo. El símbolo π se utiliza desde hace poco tiempo, concretamente desde 1706, en que William Jones lo utilizó por primera vez; pero conocer la naturaleza y características de π y aproximar su valor exacto ha sido y sigue siendo el trabajo de generaciones de matemáticos desde la antigüedad.

## La antigüedad

Las aproximaciones de π más antiguas que conocemos se deben a los babilonios (2000 AC), que utilizaban la aproximación π ≅ 3 + 7 60 + 1 120 = 3 + 1 8 = 3,125 y a los egipcios, que utilizaban la aproximación π ≅ 256 81 = 3 + 13 81 = 3,1604 . . Desgraciadamente, no nos ha llegado la forma en que se llegó a aquellos resultados.

El primer cálculo matemáticamente riguroso de π se debe a Arquímedes de Siracusa (alrededor del 250 AC), que geométricamente dedujo que 3 + 10 71 < π < 3 + 1 7 , es decir 3,1408 . . . < π < 3,1428 . . . En los siglos siguientes, el método de Arquímedes permitió obtener mejores aproximaciones de π. En el siglo II Ptolomeo calculó que π ≅ 3 + 17 120 = 3,141666 . . . y en el siglo V el matemático Chino Tsu Chung-Chih calculó π con siete cifras decimales correctas.

## La era moderna

El cálculo infinitesimal inventado en el siglo XVII permitió encontrar nuevas fórmulas para el cálculo de π. James Gregory en 1670 y Gottfried Wilhem Leibniz en 1673 descubrieron el desarrollo en serie de la función tan − 1 ( x ) = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + x 9 9 − . . . De esta fórmula se pueden deducir varias expresiones para el cálculo de π.

La más sencilla es la fórmula Gregory-Leibniz, π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + . . . , aunque no es práctica porque converge lentamente, es decir, porque se necesitan sumar muchos términos para obtener los decimales de π:

Otras expresiones convergen más rápidamente. Por ejemplo, la fórmula de John Machin, π 4 = 4 tan − 1 ( 1 5 ) − tan − 1 ( 1 239 ) permitió a William Shanks calcular en 1873 (a mano, naturalmente) 707 cifras decimales de π. Desgraciadamente, se descubrió posteriormente que sólo las primeras 528 cifras eran correctas.

En aquella época se buscaba conocer las cifras decimales de π para averiguar la propia naturaleza de π, por ejemplo si π fuera un número racional aparecerían repeticiones en las cifras. En 1768, Johann Heinrich Lambert demostró que π es irracional, es decir, que no se puede escribir como cociente de dos números enteros. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendente, es decir, que no puede ser solución de ninguna ecuación algebraica de coeficientes enteros.

## El siglo XX... y el futuro

El ordenador se ha convertido en la herramienta natural para el cálculo de cifras de π, y a su vez el cálculo de cifras de π ha permitido probar nuevas técnicas de cálculo que después se han aplicado ampliamente en la ciencia y la ingeniería.

Una línea de investigación ha sido encontrar fórmulas que permitan obtener el mayor número posible de cifras decimales, es decir, expresiones que converjan rápidamente a π. Por ejemplo, una fórmula de Srinivasa Aiyangar Ramanujan de 1910: 1 π = 2 2 9801 Σ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 396 4 k , que da 8 cifras decimales más con cada término calculado, permitió a William Gosper calcular 17 millones de cifras de π en 1985.

En 1976 Eugene Salamin y Richard Bent descubrieron un nuevo tipo de algoritmos que convergen cuadráticamente a π, es decir, que en cada término calculado se obtiene el doble de cifras correctas que las que se tenían. El algoritmo empieza con los valores a 0 = 1 , b 0 = 1 2 y s 0 = 1 2 . A continuación se aplican repetidamente las ecuaciones siguientes, en las que p k converge cuadráticamente a π:

{ a k = a k − 1 + b k − 1 2 b k = a k − 1 b k − 1 c k = a k 2 − b k 2 s k = s k − 1 − 2 k c k p k = 2 a k 2 s k

Posteriormente se han descubierto algoritmos que convergen cúbicamente, cuárticamente, e incluso n-icamente, es decir que aumentan el valor que queramos el número de cifras calculadas en cada iteración del algoritmo. Curiosamente, el rendimiento de estos algoritmos es muy parecido.

Yasumasa Kanada, de la Universidad de Tokio, que ha conseguido desde 1986 diez de los trece sucesivos records en el cálculo de las cifras decimales de π. Los últimos cuatro records conseguidos por Kanada y su equipo son los siguientes:

- 1995, octubre: 6.442.450.938 cifras decimales
- 1997, julio: 51.539.600.000 cifras decimales
- 1999, septiembre:206.158.430.000 cifras decimales
- 2002, diciembre: 1.241.100.000.000 cifras decimales

El último record fue conseguido entre septiembre y diciembre de 2002, tras 600 horas de trabajo de un ordenador Hitachi SR8000/MP.

La otra línea de investigación es la que intenta obtener una determinada cifra decimal de π sin necesidad de calcular todas las anteriores. En 1996 se descubrieron los primeros algoritmos capaces de realizar fácilmente esta tarea (curiosamente fueron encontrados por un programa de ordenador especializado en la resolución de integrales). La nueva fórmula descubierta es la siguiente:

π = Σ i = 0 ∞ 1 16 i ( 4 8 i + 1 − 2 8 i + 4 − 1 8 i + 5 − 1 8 i + 6 )

Por el momento estos algoritmos permiten solamente el cálculo directo de cifras de π si π está escrito en base hexadecimal. El problema de encontrar algoritmos semejantes para calcular directamente las cifras de π en base decimal es actualmente un problema abierto (no se ha encontrado ningún algoritmo ni tampoco se ha demostrado que no pueda existir un algoritmo que lo consiga) y en el que trabajan numerosos investigadores.

Sobre la naturaleza de π también permanecen muchas cuestiones abiertas. Por ejemplo, no se sabe si π es un número normal, es decir, un número en el que las diez cifras (del 0 al 9) aparecen con la misma frecuencia en su desarrollo decimal.

Lo único que es seguro es que π seguirá siendo durante muchos años la fuente de interesantes problemas teóricos y prácticos.