Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Ejercicio A

Problema 1

Halla la ecuación del conjunto de puntos (x , y) desde los que se ve el segmento de extremos (-5 , 0) y (5 , 0) bajo un ángulo de π/2 radianes. Describe la figura obtenida, indicando sus elementos principales.

Halla un punto de esa figura situado en el eje OY, y comprueba que desde ese punto se ve el segmento de extremos (-5 , 0) y (5 , 0) bajo un ángulo de π/2 radianes.

Problema 2

Un triángulo tiene por vértices 0 = (0 , 0), A = (5 , 5) y B = (5 , 10). Halla el volumen generado por ese triángulo al dar una vuelta completa alrededor del eje OX.

Problema 3

Se lanzan cuatro dados simétricos al aire.

1. Calcular la probabilidad de que el número de doses obtenidos sea 0.
2. Calcular la probabilidad de que el número de doses obtenidos sea 2.
3. Calcular la probabilidad de que el número de doses obtenidos sea 4.
4. De los apartados a, b y c deducir la probabilidad de que el número de doses obtenidos sea impar.

Problema 4

Indica el valor de a para que el sistema

{ x + y + z = 0 ; 2x + y + 3z = 0 ; x + az = 0 }

tenga soluciones distintas de (0 , 0 , 0), y en este caso halla todas las soluciones del sistema, interpretando el resultado obtenido como una intersección de planos.

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Ejercicio B

Problema 1

De un paralelogramo ABCD se sabe que A = (3 , 4), B = (4 , 3), que las dos coordenadas del vértice C son positivas y que la diagonal AC y el lado BC miden ambos 5. Hallar las coordenadas de C y D.

Problema 2

Un hilo de 100 cm se divide en dos trozos de longitudes x e y; con el primero se forma un cuadrado y con el segundo un círculo. Razonadamente:

1. Hallar x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea máxima.
2. Hallar x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima.

Problema 3

Obtener razonadamente la probabilidad de obtener algún seis al lanzar cinco dados simétricos al aire. Calcular la probabilidad de obtener cuatro seises al lanzar los cinco dados anteriores.

Problema 4

Calcular el producto de matrices [[-3 , -6 , 4] , [9/2 , 8 , -11/2] , [-1 , -1 , 1]]·[[5 , 4 , 2] , [2 , 2 , 3] , [7 , 6 , 6]], y utiliza el producto anterior para obtener la solución del sistema { 5x + 4y + 2z = 2 ; 2x + 2y + 3z = 3 ; 7x + 6y + 6z = 5 }.