Ejercicio A
Problema 1
Hallar razonadamente las ecuaciones de los dos planos paralelos al plano
π de ecuación 12x + 3y - 4z = 7 que distan 6 unidades de π.
Problema 2
El peso de los paquetes de harina que produce cierta fábrica sigue una
distribución normal de media 105 g y de desviación típica 5 g. Calcular el
porcentaje de paquetes con peso superior a 112 g, explicando cómo se ha
obtenido ese porcentaje.
Si se coge al azar un paquete entre los que pesan más de 112 g, ¿cuál es
la probabilidad de que pese más de 115 g? (Nota. Basta con dividir casos
favorables entre casos posibles, o bien dividir porcentaje de casos
favorables entre porcentaje de casos posibles).
Problema 3
Con la inversa de la matriz [ [2 , 3] , [4 , 2] ] resuelve { 2x + 3y = 8 ;
4x + 2y = 8 }
Obtén razonadamente la matriz inversa de una matriz A, cuadrada y de orden
3, sabiendo que A2 + A = I, donde I =[ [1 , 0 , 0] , [0 , 1 , 0] ,
[0 , 0 , 1] ].
Problema 4
Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitudes x
y 100 - x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el
otro segmento se forma un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas del
triángulo y del cuadrado.
- Determinar el dominio de la función f, es decir los valores que puede
tomnar x.
- Con el estudio de la derivada de f obtener cuándo es creciente y cuando
es decreciente.
- Indicar razonadamente para qué valor de x se obtiene que la suma de las
áreas de triángulo y del cuadrado es mínima.
Ejercicio B
Problema 1
Sea f la función definida por { f(x) = 4 si -3 ≤ x ≤ 3 ; f(x) = 7 -
x si 3 < x ≤ 7 }
Justificar si f es o no derivable en x = 3. ¿Cuál es el significado
geométrico del resultado obtenido?
Problema 2
Calcular el vector X = [ [x] , [y], [z] ] que verifique AX + B = C,
siendo
A = [ [1 , 0 , 0] , [4 , 2 , 0] , [6 , 5 , 3] ] ; B = [ [3] , [7] , [2] ]
y C = [ [4] , [8] , [9] ].
Problema 3
Tenemos tres urnas cada una de las cuales contiene 2 bolas rojas y 3 bolas
negras. Se extrae al azar una bola de cada urna y se llama x al número de
bolas rojas obtenidas. Calcular la probabilidad de que x sea mayor o igual
que 1.
Si cada urna hubiese contenido 5 bolas rojas y 3 bolas negras y se hubiese
extraído una bola de cada urna, ¿cuál hubiese sido la probabilidad de que x
hubiese sido mayor o igual que 1? Justificar la diferencia de los resultados
obtenidos.
Problema 4
Obtener las ecuaciones de las rectas obtenidas al cortar cada uno de los
planos π1: x + y + z = 3, π2: x - z = 0 y
π3: y - z = 0 con el plano π4: z = 0.
Esos cuatro planos limitan un tetraedro del que se obtendrá el área de la
cara situada en el plano π4 y la altura sobre esa cara,
explicando el método utilizado.
Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios
universitarios