Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Exercici A

Problema 1

Donada l'equació matricial següent:

[[3,-2] , [-2,1] , [0 , 1]] ·[[x] , [y]] + [[x] , [y] , [z]] = [[-10] , [6] , [3]]

Obteniu de forma raonada els valors de x , y , z.

Problema 2

Una companyia fabrica i ven dos models de làmpares A i B. Per a la seua fabricació es necessita un treball manual de 20 minuts per al model A i 30 minuts per al model B; i un treball de màquina de 20 minuts per al modelo A i de 10 minutos per al model B. Es disposa per al treball manual de 6000 minuts al mes i per al de màquina de 4800 minuts al mes. Sabent que el benefici per unitat és de 15 € per al model A i de 10 € per al model B, planifiqueu la producció mensual per a obtindre el màxim benefici i calculeu-ne aquest.

Problema 3

Es creu que el nombre y d'unitats venudes d'un cert producte en funció del preu en euros, x , és donat per y = 50 - x , en què el preu varia entre 0 i 50 euros. Si per cada unitat venuda s'obté un benefici x - 10 , determineu de forma raonada el preu de x que produirà un major benefici, el nombre d'unitas venudes i el benefici obtingut.

Problema 4

En una petita ciutat hi ha dues biblioteques. En la primera, el 50% dels llibres són novel·les, mentre que en la segona ho són el 70%. Un lector tria a l'atzar una biblioteca seguint un mètode que implica que la probabilitat de triar la primera biblioteca és el triple que la de triar la segona. Una vegada arriba a la biblioteca seleccionada, escull a l'atzar un llibre, novel·la o no.

1. Calculeu raonadament la probabilitat de que trie una novel·la.
2. Sabent que el llibre seleccionat és una novel·la, obteniu raonadament la probabilitat de que haja acudit a la primera biblioteca

---

Exercici B

Problema 1

El 75% dels alumnes acudeix a classe en algun tipus de transport i la resta caminant. Arriba puntual a classe el 60% dels qui usen transport i el 90% dels que hi van caminant. Calcular de forma raonada:

1. si es tria a l'atzar un dels alumnes que ha arribat puntual a classe, la probabilitat que haja acudit caminant, i
2. si es tria un alumne a l'atzar, la probabilitat que no haja arribat puntual.

Problema 2

He de pendre almenys 60 mg de vitamina A i almenys 90 mg de vitamina B cada dia. En la farmàcia puc adquirir dues pastilles de marques diferents X i Y. Cada pastilla de la marca X conté 10 mg de vitamina A i 15 mg de vitamina B y cada pastilla de la marca Y conté 10 mg de cada vitamina. A més, no és convenient pendre més de 8 pastilles diàries. Sabent que el preu de cada pastilla de la marca X és 50 cèntims d'euro i que cada pastilla de marca Y costa 30 cèntims d'euro, calculeu de forma raonada:

1. Quantes pastillas diàries de cada marca he de pendre perquè el cost siga mínim, i
2. Quin és el cost mínim.

Problema 3

Cinc amics solen pendre café junts. El primer dia van pendre 2 cafés, 2 tallats i un café amb llet i van haver de pagar 3 €. L'endemà van pendre un café, un tallat, i tres cafés amb llet, per la qual cosa van pagar 3,25 €. El tercer dia només es van reunir quatre amics i van pendre un café, dos tallats i un café amb llet, el comte va ascendir a 2,45 €. Calculeu de forma raonada el preu del café, del tallat i del café amb llet.

Problema 4

Descomponeu de forma raonada el número 90 en dos sumands tals que el resultat de sumar el quadrat del primer i el doble del cuadrat del segon siga mínim.